本文内容为均个人考研复习中的心得总结，对与概念的描述会过于简略以节省篇幅。实际请以标准教科书为准。如有错误敬请批评指正。

一、函数基本内容

（一）概念

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

——百度百科

说人话就是： $x\stackrel{f（x）}{\longrightarrow}y$

需要注意的是，根据函数的定义，一个自变量x只能对应一个因变量y，但一个因变量y却可以对应不止一个x。通过该点我们可以判断一个方程是否为函数。

例： $y=x^2$ 是一个函数。 $y^2 + x^2=1$ 不是函数。

如果可以画出图像，我们可以用铅垂划线法判断。

（二）函数性质

1、单调性

定区间上，若 $x_1>x_2$ ，且 $f(x_1)\ge f(x_2)$ 则称 $f(x)$ 在该区间上单调递增，反之则单调递减。

一般情况下，我们将单调递增，不减，递增，增函数都称作单调递增。

实际上，也存在绝对不等的情况，即 $f(x_1) \gt f(x_2)$ ，我们将这种情况称之为严格单调。

2、有界性

若 $|f(x)|\le M$ ,则称 $f(x)$ 有界。

有界可以是上界也可以是下界，需要结合实际情况判断。

3、奇偶性

$f(x)=f(-x)$ ，偶函数； $f(x)=-f(-x)$ ，奇函数。

有些函数没有奇偶性。

4、周期性

$f(x)=f(x+T)$ ，常见于三角函数。

（三）常见函数类型

1、初等函数

初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

2、复合函数

形式 $y=g(f(x))$

3、隐函数

设 $F(x,y)=0$ ，当x取某区间上任意一个值时，总有满足该方程的y存在，则 $F(x,y)$ 在该区间上确定了一个函数 $y=y(x)$